Números primos de Mersenne

Números primos de Mersenne 

Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. M_n = 2ⁿ − 1.

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo. Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista sólo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó M₆₇ y M₂₅₇, que son compuestos, y omitió M₆₁, M₈₉, y M₁₀₇, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa sólo se completó más de dos siglos después.

Actualmente (octubre 2010), sólo se conocen 47 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M_43.112.609 = 2^43.112.609−1, un número de casi trece millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

Si p es Esta proposición también se cumple si 2^p − 1 es primo. Un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida a 2^p-1 debe ser uno más que un múltiplo de 2p.

              Ejemplo I: 2⁵ − 1 = 31 es primo, y 31 es igual a 1 más un múltiplo de 2·5.

§  Ejemplo II: , siendo:

23 = 1 + 2 · 11

89 = 1 + 8 · 11

23 · 89 = 1 + 186 · 11